Teorema de Pick

El objetivo de esta actividad es ver cómo se puede calcular el área de un triángulo de una forma diferente a la habitual. Para ello, haremos uso del Teorema de Pick, que se trata de un resultado geométrico sorprendente: nos permite calcular de forma muy sencilla el área de un triángulo que cumpla ciertas condiciones. Se debe al matemático austriaco Georg Alexander Pick que lo demostró en 1899.

El Teorema de Pick es una fórmula que relaciona el área de un triángulo cuyos vértices tienen coordenadas enteras con el número de puntos en su interior y en su borde que tengan también coordenadas enteras. Dos ejemplos de triángulos que podemos considerar se muestran en la siguiente figura:

Teorema de Pick

Sea un triángulo cuyos vértices tienen coordenadas enteras. Si B es el número de puntos enteros en el borde, I el número de puntos enteros en el interior del polígono, entonces el área A del polígono se puede calcular con la fórmula:

Observermos la siguiente tabla para comprobar si los dos triángulos anteriores satisfacen la fórmula de Pick. También compararemos con el método tradicional (base*altura/2).

Triángulo	Base	Altura	Puntos perímetro	Puntos interiores	Área figura
Morado	4	3	6	4	8
Amarillo	2	4	8	1	4

Una vez que hayamos entendido los conceptos de punto con coordenadas enteras, punto del borde y punto interior y sepamos usar el teorema para calcular áreas, pulsamos siguiente.

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